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诠释注解黎曼料到的新几何,把数学之好意思展现得长篇大论,确立数学之梦

发布日期:2024-02-09 19:49    点击次数:109

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黎曼料到可能是有史以来最大的未解数学问题,但它仅仅一个更大故事的一小部分,这个故事即是寻找撑握L函数表面的新几何的探索。在黎曼料到的神话全国里,咱们将解释L函数是什么,讲演这个新几何的祈望,有些东谈主称之为一元域上的几何(geometry over the field with one element),或F1。我会解释它与黎曼料到的谈论,以及其他伟大的问题,比如BSD料到和朗兰兹经营(langlands program)。这是一段漫长的旅程,滥觞是L函数的表面,其中最精炼的例子即是黎曼ζ函数。祈望是找到这个未知的、秘密的、难以捉摸的F1几何。咱们的但愿,即是这个几何能为黎曼料到的诠释注解开启一条旅途。

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领先,我想向你们展示马宁(Manin)的一篇著作,行为F1的初学,然后简要回来一下黎曼料到,临了说一些对于若何寻找黎曼料到诠释注解的事情。F1初学行为对F1的首次战役,我向你们展示尤里·马宁的一篇著作。马宁是一个神话东谈主物,他是全国上为数未几的领有全面数学学问的数学家之一。在这篇著作中,我只想指出一些咱们将来会际遇的要道宗旨。你们不错我方阅读这篇著作,它是公开可见的。

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著作的标题是“把数字看作函数(NUMBERS AS FUNCTIONS)”,其想想是为了管制数论中最高深的问题,咱们可能需要从头联想数学的中枢实质。至极是,咱们可能需要从头想考咱们对“数字”这个词的富厚。马宁琢磨了一种特定的作念法,这是按照亚历山德鲁·布伊乌姆(Alexandru Buium)的表面发展出来的。在纲目中,你不错看到这个短语,“一元域上的几何”。

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他还提到一个相等不测的宗旨,即素数和物理之间可能存在深层的谈论。整篇著作皆是在讲述一个故事,即许多不同的宗旨之间存在出东谈主意想的谈论。让咱们一谈浏览这篇著作。

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领先,这可能是最着名的数学公式之一,e 的 πi 次幂等于负一。他还提到了黎曼ζ函数的突出值,即 π^2/6,

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你可能在与巴塞尔问题的联系中看到过这个公式。著作开首的琢磨主要温和一类突出的数字,它们在量子场论中出现的原因令东谈主轮廓。这些数字被称为周期(periods)。

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在第三页,咱们际遇了一个超等伏击的宗旨,即单元根(roots of unity)。

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然后在第四页的开首,他提到了咱们的但愿,即接近黎曼料到。

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一些道理的周期示例包括代数数字,也即是多项式方程的零点,数字π亦然一个周期,然后还有这些奇怪的数字,

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这不错通过将伽马函数哄骗于有理数来获得。是以咱们不错把它们叫作念分数伽马值(fractional gamma values)。这里的统统内容皆相等道理,我想提到的临了几个想法是费曼积分或费曼旅途积分(Feynman path integrals),它们与量子场论中的振幅关联。然后在第14页,有些想法被称为格罗滕迪克环和维特环(Grothendieck rings and Witt rings)。

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它们是具有所谓"lambda-运算”的代数结构的例子。

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在第16页,咱们看到了一个被称为F_q的东西,这是一个有限域,咱们会回过甚来再谈这个,还有这个标记F_1,它是这种机密几何的中枢。

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临了在第18页,他使用了“机密莫测的幽谷”这个短语,我相等可爱这个词,因为它传达出在这个想想空间中你际遇的深度的嗅觉。

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黎曼料到回来咱们快速回来一下黎曼料到。质数包括2,3,5,7,11,13,17,19等等。若是你写下每个正整数的因数,你会看到质数,它们是只好两个因数的数。让咱们望望一些较大的质数:101,103,107,109,113,127,131,137,139和149。从一个质数到下一个质数的跨越,它们似乎是颠倒马上的。无意两个质数是径直相邻的。像101和103这么的孪生素数;关联词无意候,它们之间会有高大的破绽,像113和127。这里有莫得底层的结构?咱们能否揣度下一个质数的出现的?这即是黎曼ζ函数出场的时候。

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质数与黎曼ζ函数的零点链接。ζ函数是从复数到复数的函数。这意味着,对于任何复数的输入,将获得一个复数行为输出。举例,输入2,输出π闲居除以6。输入负1,输出负1除以12。输入负2,输出0。是以数字-2,是黎曼ζ函数的一个零点。

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若是把统统这些零点行为复平面中的点,有些很容易谋略,如-2,-4,-6等等,也即是负的偶数。

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这些被称为平庸零点(trivial zeros)。其他的零点,被称为非平庸零点(non-trivial zeros),皆包含在所谓的临界带(critical strip)中。

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真义是,ζ函数零点的实部,在0和1之间。黎曼料到宣称,统统非平庸的零点,实部皆等于1/2。换句话说,它们皆在所谓的临界线上。数学家们依然谋略过,这些非平庸零点的前12万亿个,它们的实部皆是1/2。虚部呢?你不错谋略它们,对于前几个零点,虚部大要是,14.1傍边,21傍边,25傍边,这个数字序列被称为黎曼谱。

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咱们不错使用Sage谋略更多的这些值。要初步富厚这些零点为什么如斯道理,让咱们望望函数

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这是一个余弦波,以14.1行为角频率,以对数x为变量。这里的“对数”是天然对数ln。让咱们绘图函数f从x等于1到15的图形。

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这看起来像是某种波,波长随x的增大而增大,但望望峰值!固然不好意思满,但接近1、2、3、5和稍大于7的地点有峰值。在11和12之间有临了一个峰值。当今咱们再给函数f的界说加上一个项:

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这个函数在约略是1、2、3、5、7,然后稍高于12的地点有峰值,

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当今咱们赓续添加越来越多的项,

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使用来自黎曼谱的数字构建这些余弦波。使用前十个项,就会有相等泄漏的峰值,隔离在1、2、3、5、7、11和13的位置。

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咱们不错使用任意数目的项,让咱们使用一百个项,并将这个图形延长到x等于二十的地点,

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当今,也许你不错猜出这些小峰值是什么。在2之后,峰值出当今4、8和16。在3之后,峰值出当今9,然后会有更多的峰值出当今27、81等等。这些是2的幂和3的幂。总的来说,跟着咱们添加越来越多的项,并扩大x值的限度,统统的质数的幂皆会出现尖峰。这些图表是一个初步的小辅导,固然咱们频频温和的是质数,但质数的幂对咱们也相等伏击。只需记取,这些图表,统统这些尖峰,并不是来自咱们了解的质数,它们仅来自黎曼谱。是以光显,这里有一种贯串,贯串了黎曼谱和质数。这险些是随性的!质数与余弦波无关。若是你长远讨论这种谈论的细节,你想了解有几许质数在给定数值之前,比如说在二十或一百万之前,那么要道即是了解一个零值可能离临界线有多远。最好意思满和最娟秀的情况应该是,统统的零值本质上皆彻底在这条线上。这个料到即是黎曼料到。黎曼料到的诠释注解那么,咱们若何诠释注解黎曼料到呢?这是一个价值百万好意思元的问题。对于黎曼ζ函数有好多书,对于黎曼料到也有好多书。在其中的一些书里,你会发现东谈主们尝试过的许多事情,以及可能在翌日诠释注解中起作用的许多宗旨的列表。天然,莫得东谈主信得过知谈最终会有什么服从。关联词,我觉得,若是你想阅读这些宗旨,最佳的地点,也许是最佳的地点,是布莱恩·康瑞(Brian Conrey)的一篇近期著作(RIEMANN’S HYPOTHESIS)。

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康瑞是全国上黎曼料到的顶级群众之一。他有好多很道理的讨论论文,但最着名的即是他诠释注解了在临界带中至少40%的零值本质上在临界线上的那篇。

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你不错我方阅读这篇论文(RIEMANN’S HYPOTHESIS),我只想强调我觉得最道理的一些宗旨。一驱动就琢磨了这个问题的历史布景,以及质数和零值之间的谈论。有一小部分对于“咱们为什么觉得黎曼料到是对的?”的内容,这也相等道理。然后引入这个谱解释的宗旨,

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真义是零值可能是某个算子的特征值。对于诠释注解黎曼料到的一些初步宗旨,听起来很道理。然后我想强调这个第16节,

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魏尔的显式公式和正性设施。17是李氏准则,

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