诠释注解黎曼料到的新几何，把数学之好意思展现得长篇大论，确立数学之梦

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黎曼料到可能是有史以来最大的未解数学问题，但它仅仅一个更大故事的一小部分，这个故事即是寻找撑握L函数表面的新几何的探索。在黎曼料到的神话全国里，咱们将解释L函数是什么，讲演这个新几何的祈望，有些东谈主称之为一元域上的几何（geometry over the field with one element），或F1。我会解释它与黎曼料到的谈论，以及其他伟大的问题，比如BSD料到和朗兰兹经营（langlands program）。这是一段漫长的旅程，滥觞是L函数的表面，其中最精炼的例子即是黎曼ζ函数。祈望是找到这个未知的、秘密的、难以捉摸的F1几何。咱们的但愿，即是这个几何能为黎曼料到的诠释注解开启一条旅途。

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领先，我想向你们展示马宁（Manin）的一篇著作，行为F1的初学，然后简要回来一下黎曼料到，临了说一些对于若何寻找黎曼料到诠释注解的事情。F1初学行为对F1的首次战役，我向你们展示尤里·马宁的一篇著作。马宁是一个神话东谈主物，他是全国上为数未几的领有全面数学学问的数学家之一。在这篇著作中，我只想指出一些咱们将来会际遇的要道宗旨。你们不错我方阅读这篇著作，它是公开可见的。

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著作的标题是“把数字看作函数（NUMBERS AS FUNCTIONS）”，其想想是为了管制数论中最高深的问题，咱们可能需要从头联想数学的中枢实质。至极是，咱们可能需要从头想考咱们对“数字”这个词的富厚。马宁琢磨了一种特定的作念法，这是按照亚历山德鲁·布伊乌姆（Alexandru Buium）的表面发展出来的。在纲目中，你不错看到这个短语，“一元域上的几何”。

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他还提到一个相等不测的宗旨，即素数和物理之间可能存在深层的谈论。整篇著作皆是在讲述一个故事，即许多不同的宗旨之间存在出东谈主意想的谈论。让咱们一谈浏览这篇著作。

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领先，这可能是最着名的数学公式之一，e 的 πi 次幂等于负一。他还提到了黎曼ζ函数的突出值，即 π^2/6，

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你可能在与巴塞尔问题的联系中看到过这个公式。著作开首的琢磨主要温和一类突出的数字，它们在量子场论中出现的原因令东谈主轮廓。这些数字被称为周期（periods）。

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在第三页，咱们际遇了一个超等伏击的宗旨，即单元根（roots of unity）。

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然后在第四页的开首，他提到了咱们的但愿，即接近黎曼料到。

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一些道理的周期示例包括代数数字，也即是多项式方程的零点，数字π亦然一个周期，然后还有这些奇怪的数字，

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这不错通过将伽马函数哄骗于有理数来获得。是以咱们不错把它们叫作念分数伽马值（fractional gamma values）。这里的统统内容皆相等道理，我想提到的临了几个想法是费曼积分或费曼旅途积分（Feynman path integrals），它们与量子场论中的振幅关联。然后在第14页，有些想法被称为格罗滕迪克环和维特环（Grothendieck rings and Witt rings）。

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它们是具有所谓"lambda-运算”的代数结构的例子。

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在第16页，咱们看到了一个被称为F_q的东西，这是一个有限域，咱们会回过甚来再谈这个，还有这个标记F_1，它是这种机密几何的中枢。

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临了在第18页，他使用了“机密莫测的幽谷”这个短语，我相等可爱这个词，因为它传达出在这个想想空间中你际遇的深度的嗅觉。

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黎曼料到回来咱们快速回来一下黎曼料到。质数包括2，3，5，7，11，13，17，19等等。若是你写下每个正整数的因数，你会看到质数，它们是只好两个因数的数。让咱们望望一些较大的质数：101，103，107，109，113，127，131，137，139和149。从一个质数到下一个质数的跨越，它们似乎是颠倒马上的。无意两个质数是径直相邻的。像101和103这么的孪生素数；关联词无意候，它们之间会有高大的破绽，像113和127。这里有莫得底层的结构？咱们能否揣度下一个质数的出现的？这即是黎曼ζ函数出场的时候。

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质数与黎曼ζ函数的零点链接。ζ函数是从复数到复数的函数。这意味着，对于任何复数的输入，将获得一个复数行为输出。举例，输入2，输出π闲居除以6。输入负1，输出负1除以12。输入负2，输出0。是以数字-2，是黎曼ζ函数的一个零点。

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若是把统统这些零点行为复平面中的点，有些很容易谋略，如-2，-4，-6等等，也即是负的偶数。

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这些被称为平庸零点（trivial zeros）。其他的零点，被称为非平庸零点（non-trivial zeros），皆包含在所谓的临界带（critical strip）中。

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真义是，ζ函数零点的实部，在0和1之间。黎曼料到宣称，统统非平庸的零点，实部皆等于1/2。换句话说，它们皆在所谓的临界线上。数学家们依然谋略过，这些非平庸零点的前12万亿个，它们的实部皆是1/2。虚部呢？你不错谋略它们，对于前几个零点，虚部大要是，14.1傍边，21傍边，25傍边，这个数字序列被称为黎曼谱。

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咱们不错使用Sage谋略更多的这些值。要初步富厚这些零点为什么如斯道理，让咱们望望函数

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这是一个余弦波，以14.1行为角频率，以对数x为变量。这里的“对数”是天然对数ln。让咱们绘图函数f从x等于1到15的图形。

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这看起来像是某种波，波长随x的增大而增大，但望望峰值！固然不好意思满，但接近1、2、3、5和稍大于7的地点有峰值。在11和12之间有临了一个峰值。当今咱们再给函数f的界说加上一个项：

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这个函数在约略是1、2、3、5、7，然后稍高于12的地点有峰值，

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当今咱们赓续添加越来越多的项，

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使用来自黎曼谱的数字构建这些余弦波。使用前十个项，就会有相等泄漏的峰值，隔离在1、2、3、5、7、11和13的位置。

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咱们不错使用任意数目的项，让咱们使用一百个项，并将这个图形延长到x等于二十的地点，

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当今，也许你不错猜出这些小峰值是什么。在2之后，峰值出当今4、8和16。在3之后，峰值出当今9，然后会有更多的峰值出当今27、81等等。这些是2的幂和3的幂。总的来说，跟着咱们添加越来越多的项，并扩大x值的限度，统统的质数的幂皆会出现尖峰。这些图表是一个初步的小辅导，固然咱们频频温和的是质数，但质数的幂对咱们也相等伏击。只需记取，这些图表，统统这些尖峰，并不是来自咱们了解的质数，它们仅来自黎曼谱。是以光显，这里有一种贯串，贯串了黎曼谱和质数。这险些是随性的！质数与余弦波无关。若是你长远讨论这种谈论的细节，你想了解有几许质数在给定数值之前，比如说在二十或一百万之前，那么要道即是了解一个零值可能离临界线有多远。最好意思满和最娟秀的情况应该是，统统的零值本质上皆彻底在这条线上。这个料到即是黎曼料到。黎曼料到的诠释注解那么，咱们若何诠释注解黎曼料到呢？这是一个价值百万好意思元的问题。对于黎曼ζ函数有好多书，对于黎曼料到也有好多书。在其中的一些书里，你会发现东谈主们尝试过的许多事情，以及可能在翌日诠释注解中起作用的许多宗旨的列表。天然，莫得东谈主信得过知谈最终会有什么服从。关联词，我觉得，若是你想阅读这些宗旨，最佳的地点，也许是最佳的地点，是布莱恩·康瑞（Brian Conrey）的一篇近期著作（RIEMANN’S HYPOTHESIS）。

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康瑞是全国上黎曼料到的顶级群众之一。他有好多很道理的讨论论文，但最着名的即是他诠释注解了在临界带中至少40%的零值本质上在临界线上的那篇。

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你不错我方阅读这篇论文（RIEMANN’S HYPOTHESIS），我只想强调我觉得最道理的一些宗旨。一驱动就琢磨了这个问题的历史布景，以及质数和零值之间的谈论。有一小部分对于“咱们为什么觉得黎曼料到是对的？”的内容，这也相等道理。然后引入这个谱解释的宗旨，

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真义是零值可能是某个算子的特征值。对于诠释注解黎曼料到的一些初步宗旨，听起来很道理。然后我想强调这个第16节，

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魏尔的显式公式和正性设施。17是李氏准则，

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